【SPI】2けたの正の整数Xについて問題とは？解き方のポイントを丁寧に解説

WEBテスティング型のSPIの非言語では、2けたの正の整数Xについて問題が出題されるケースがあります。

※WEBテスティングの詳細は「【SPIです】aroruaのURLはWEBテスティングで確定だがオーロラではない！例題やその他のWEBテストの見分け方もご紹介」をご覧ください。

この問題は整数に関する問題で、難易度は少し高めです。

今回は、SPIを日本で一番熟しているSPIマスターの私カズマが、WEBテスティング型のSPIで出題される2けたの正の整数Xについて問題の解き方を丁寧に解説します。

WEBテスティング型のSPIを受検予定の人は必ずチェックしておきましょう。

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【SPI】2けたの正の整数Xについて問題とは？

SPI（WEBテスティング）の非言語で出題される可能性がある2けたの正の整数Xについて問題は以下のような問題です。

分野としては整数問題となります。

※整数問題について詳しく知りたい人は「SPIの整数問題10選！難易度が高いので要注意」をご覧ください。

【例題】

2けたの正の整数Xについて、以下のことがわかっている。

ア：Xは奇数である

イ：10の位の数と1の位の数を入れ替えると、Xより63小さい数字になる

このとき、Xの値を求めよ。

【解答＆解説】

2けたの正の整数XをABとおきます・・・（☆）

※Aは10の位の数を、Bは1の位の数を表しています。

すると、X＝10A＋Bとなります。

イより、10の位の数と1の位の数を入れ替えた数はBAなので、その数は10B＋Aとなります。

これがXより63小さいので、（10A＋B）-（10B＋A）＝63が成り立ちます。

すなわち、9A-9B＝63となるので、A-B＝7となります。

☆より、A、Bはともに1桁の数でなければならないので、（A、B）＝（9、2）（8、1）（7、0）の組み合わせしかありません。

（A、B）＝（9、2）のとき、すなわちX＝92のとき、ア「Xは奇数である」という条件を満たさないので、不適となります。

（A、B）＝（8、1）のとき、X＝81です。これはア「Xは奇数である」という条件を満たしています。

イ「10の位の数と1の位の数を入れ替えた数」は18です。

81-18＝63なので、イ「Xより63小さい数字になる」という条件も満たしています。

よって、答えはX＝81・・・（答）となります。

念のため、（A、B）＝（7、0）のときも確認しておきます。

（A、B）＝（7、0）のとき、X＝70です。これはア「Xは奇数である」という条件を満たさないので、不適となります。

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【SPI】2けたの正の整数Xについて問題の解き方のポイント

2けたの正の整数Xについて問題の解き方のポイントは以下の3つです。

• 2けたの整数を「10A＋B」の形でおく
• A、Bは1桁の数という条件を忘れない
• 求めた候補が条件を満たすか必ず確認する

それぞれについて詳しく解説します。

2けたの整数を「10A＋B」の形でおく

2けたの正の整数Xについて問題では、Xを「10A＋B」の形でおくのが定石です。

今回の例題でも、10の位の数をA、1の位の数をBとして、X＝10A＋Bと表したことで、「10の位と1の位を入れ替えた数」を10B＋Aとシンプルに表現できました。

ここで「X＝AB」と単純においてしまうと、A×Bという掛け算と勘違いしてしまい、計算がうまく進まなくなります。

「2けたの整数→10A＋B」と機械的に変換できるようにしておきましょう。

ちなみに、3けたの整数の場合は「100A＋10B＋C」と表すことができます。

SPIでは2けたの問題が圧倒的に多いですが、3けたのパターンも頭の片隅に入れておくと安心です。

A、Bは1桁の数という条件を忘れない

2けたの正の整数Xについて問題で最も間違えやすいのが、A、Bがともに1桁の数（0〜9）でなければならないという条件を忘れてしまうことです。

今回の例題では、A-B＝7という式が出てきましたが、これだけでは（A、B）の組み合わせは無数にあります。

しかし、Aは10の位の数なので1〜9、Bは1の位の数なので0〜9という制約があるため、組み合わせは（9、2）（8、1）（7、0）の3通りに絞られます。

※今回の例題ではAが0だと2けたの整数にならないので、A≠0という条件も加わります。

このように、「文字でおいた瞬間に、その文字が取りうる範囲を確認する」ことを習慣にしておきましょう。

求めた候補が条件を満たすか必ず確認する

2けたの正の整数Xについて問題では、候補が複数出てきた場合に、すべての条件を満たすかを必ず確認することが重要です。

今回の例題でも、A-B＝7という式から（9、2）（8、1）（7、0）という3つの候補が出てきましたが、ア「Xは奇数である」という条件で絞り込むと、X＝81のみが正解となりました。

SPIの整数問題では、「ア」「イ」のように複数の条件が示されることが多いです。

「1つの式を満たした＝答え」と早合点せず、すべての条件を満たしているかを最後に必ず検算するクセをつけておきましょう。

この一手間を惜しまないことが、整数問題で確実に得点するためのコツです。

練習問題

最後に、上記でご紹介した2けたの正の整数Xについて問題の難易度に近い、整数に関する練習問題をご用意しました。

※SPIの練習問題433問をすべて無料で掲載している記事もぜひ参考にしてください。

SPIを受検予定の人はぜひ解いてみてください。

【練習問題1】

2けたの正の整数Yについて、以下のことがわかっている。

ア：Yは偶数である

イ：10の位の数と1の位の数を入れ替えると、Yより36大きい数字になる

このとき、Yの値をすべて求めよ。

【解答＆解説】

2けたの正の整数YをABとおきます。

※Aは10の位の数を、Bは1の位の数を表しています。

すると、Y＝10A＋Bとなります。

イより、10の位の数と1の位の数を入れ替えた数は10B＋Aとなります。

これがYより36大きいので、（10B＋A）-（10A＋B）＝36が成り立ちます。

すなわち、9B-9A＝36となるので、B-A＝4となります。

A、Bはともに1桁の数で、Aは0でないことから、（A、B）＝（1、5）（2、6）（3、7）（4、8）（5、9）の5通りが候補となります。

このうち、ア「Yは偶数である」という条件を満たすのは、Bが偶数であるY＝26、48の2つです。

よって、答えはY＝26、48・・・（答）となります。

【練習問題2】

2けたの正の整数Zについて、以下のことがわかっている。

ア：Zの10の位の数と1の位の数の和は11である

イ：10の位の数と1の位の数を入れ替えると、Zより27大きい数字になる

このとき、Zの値を求めよ。

【解答＆解説】

2けたの正の整数ZをABとおきます。

※Aは10の位の数を、Bは1の位の数を表しています。

すると、Z＝10A＋Bとなります。

アより、A＋B＝11・・・（1）が成り立ちます。

イより、10の位の数と1の位の数を入れ替えた数は10B＋Aで、これがZより27大きいので、（10B＋A）-（10A＋B）＝27が成り立ちます。

すなわち、9B-9A＝27となるので、B-A＝3・・・（2）が成り立ちます。

（1）＋（2）より、2B＝14なので、B＝7、A＝4となります。

よって、Z＝10×4＋7＝47・・・（答）となります。

【練習問題3】

ある整数を5で割ると2あまり、7で割ると3あまる。このような整数のうち最も小さいものを求めよ。

【解答＆解説】

求める整数をNとおきます。

5で割ったときの商をA、7で割ったときの商をBとすると、N＝5A＋2、N＝7B＋3と表すことができます。

これより、5A＋2＝7B＋3なので、5A-7B＝1となります。

A＝0、1、2を代入すると、Bが自然数にならないので不適です。

※A、Bはともに0以上の整数になればOKです。

A＝3を代入すると、15-7B＝1より、B＝2となります。

よって、A＝3、B＝2が最小の組み合わせとなります。

求める整数は5A＋2＝5×3＋2＝17・・・（答）となります。

※7B＋3も17になるので、答えは17で間違いないことがわかります。

【練習問題4】

連続する3つの偶数があり、その和が54である。最も大きい偶数を求めよ。

【解答＆解説】

最も小さい偶数を2Aとおきます。

※2A、2A＋2、2A＋4はすべて偶数です。

連続する3つの偶数の和が54なので、2A＋（2A＋2）＋（2A＋4）＝54という方程式が立てられます。

整理すると、6A＋6＝54より、6A＝48となるので、A＝8となります。

よって、最も小さい偶数は2A＝16、最も大きい偶数は2A＋4＝20・・・（答）となります。

※16＋18＋20＝54で間違いないことがわかります。

【練習問題5】

2けたの正の整数Xについて、以下のことがわかっている。

ア：Xは3の倍数である

イ：Xの10の位の数と1の位の数の差は5である

このとき、Xとして考えられる値をすべて求めよ。

【解答＆解説】

2けたの正の整数XをABとおきます。

※Aは10の位の数を、Bは1の位の数を表しています。

イより、|A-B|＝5なので、A-B＝5またはB-A＝5が成り立ちます。

A、Bはともに1桁の数で、Aは0でないことから、候補は以下の通りです。

• A-B＝5のとき：（A、B）＝（5、0）（6、1）（7、2）（8、3）（9、4）
• B-A＝5のとき：（A、B）＝（1、6）（2、7）（3、8）（4、9）

それぞれのXの値は、50、61、72、83、94、16、27、38、49です。

このうち、ア「Xは3の倍数である」という条件を満たすのは、各位の数の和が3の倍数になるX＝72、27の2つです。

※3の倍数は各位の数の和が3の倍数になります（72→7＋2＝9、27→2＋7＝9）。

よって、答えはX＝27、72・・・（答）となります。

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